사면체 삼수선 넓이

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 도형의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}'$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $6$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AH}'}} \times {\overline{B \mathrm{C}}}$$= 6$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}'}}$$= 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$$\perp$(평면 $\mathrm{BCD}$), $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}'}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HH}'}} \perp {\overline{BC}}$ 두 직각삼각형 $\mathrm{BH}' H$, $\mathrm{BCD}$의 닮음비는 $1 : 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HH}'}}$$= 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{H}' C}}$$= 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}}$$\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} - 1 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{15}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{AHC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AH}}} \times {\overline{\mathrm{HC}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{5}$$\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$