사면체 삼각형 정사영 넓이

[출제의도] 정사영 이해하기 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} \perp$(평면 $\mathrm{OAB}$), $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{CM}}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{OM}}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{MC}}} = 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}} = 3 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{MC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} \perp$(평면 $\mathrm{ABC}$)이므로 점 $\mathrm{O}$의 평면 $\mathrm{ABC}$ 위로의 정사영은 점 $\mathrm{H}$이다.

$\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OM}}} \times {\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{MC}}} \times {\overline{\mathrm{OH}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = \sqrt{6}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}} = 2 \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 평면 $\mathrm{ABC}$ 위로의 정사영은 삼각형 $\mathrm{HBC}$이고 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{CM}$을 $1 : 2$로 내분한다. ($\triangle \mathrm{HBC}$의 넓이)$=$$\displaystyle \frac{1}{6} \times$($\triangle \mathrm{ABC}$의 넓이) 따라서 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{6} \times 9 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$