기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사면체 정사영 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 66인 정삼각형 ACD{\mathrm{ACD}}를 한 면으로 하는 사면체 ABCD{\mathrm{ABCD}}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) BC‾=310\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} = 3 \sqrt{10} (나) AB‾⊥AC‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} \perp \overline{{\mathrm{AC}}}, AB‾⊥AD‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} \perp \overline{{\mathrm{AD}}}

두 모서리 AC{\mathrm{AC}}, AD{\mathrm{AD}}의 중점을 각각 M{\mathrm{M}}, N{\mathrm{N}}이라 할 때, 삼각형 BMN{\mathrm{BMN}}의 평면 BCD{\mathrm{BCD}} 위로의 정사영의 넓이를 SS라 하자. 40×S40 \times S의 값을 구하시오. [4점]

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450

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해설

그림에서 BR‾=9\displaystyle \mathrm{\overline{BR}} = 9, BP‾=\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} =aa, PR‾=\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} =9−a9 - a h2=(36)2−a2\displaystyle h ^{2} = ( 3 \sqrt{6} ) ^{2} - a ^{2}=(33)2−(9−a)2\displaystyle = ( 3 \sqrt{3} ) ^{2} - ( 9 - a ) ^{2} 따라서 a=6a = 6, PR‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 3 S=12×3×(6+32)=454\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 3 \times \left( 6 + \frac{3}{2} \right) = \frac{45}{4} ∴\therefore 40S=45040 S = 450

태그

#정사영#이면각

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