기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사면체 정사영 넓이

문제

한 평면 위에 있지 않은 네 점 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D에 대하여 선분 BD\mathrm{BD}, 선분 CD\mathrm{CD}, 선분 AC\mathrm{AC}, 선분 AB\mathrm{AB} 각각의 중점 E,F,G,H\mathrm{E} , F , G , H는 한 평면 위에 있다. AB‾=CD‾=7\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{CD} = 7, AC‾=BD‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \overline{BD} = 5, BC‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 6이고 평면 ABC\mathrm{ABC}와 평면 BCD\mathrm{BCD}가 이루는 각이 60∘60 ^\circ일 때, 사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 평면 BCD\mathrm{BCD} 위로의 정사영의 넓이를 SS라 하자. 이 때, 4S24 S ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 공간도형에 대한 삼수선의 성질과 넓이에 대한 정사영의 성질을 이해하고 있는 가를 묻는 문제이다. 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 선분 HG\mathrm{HG}와 EF\mathrm{EF}의 길이는 선분 BC\mathrm{BC} 길이의 12\displaystyle \frac{1}{2}로 같다. 그리고 BC//HG,BC//EF\mathrm{BC} / / HG , BC / / EF이므로 사각형 EFGH\mathrm{EFGH}는 평행사변형이다. 그리고 BC\mathrm{BC}위의 한 점 I\mathrm{I}에서 HG\mathrm{HG}에 수선을 내린 점을 J\mathrm{J}, EF\mathrm{EF}에 수선을 내린 점을 K\mathrm{K}라 하면 삼수선의 정리에 의하여 BC\mathrm{BC}와 JK\mathrm{JK}는 서로 수직이므로 JK\mathrm{JK}와 EF\mathrm{EF}는 서로 수직이 된다. 제 22코사인법칙을 이용하면 cos⁡∠ABC=57\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC} = \frac{5}{7}이므로 △ABC=12AB‾×BC‾×sin⁡∠ABC=66\displaystyle \triangle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{BC} \times \sin \angle \mathrm{ABC} = 6 \sqrt{6} 이다. 따라서, △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 높이는 26\displaystyle 2 \sqrt{6}이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 삼각형 DCB\mathrm{DCB}는 서로 합동이므로 IJ=IK=\mathrm{IJ} = IK =삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 높이×12=6\displaystyle \times \frac{1}{2} = \sqrt{6} 이 되고 두 삼각형이 이루는 각이 60∘60 ^\circ이므로 IJK\mathrm{IJK}는 정삼각형이다. 사각형 EFGH\mathrm{EFGH}는 평행사변형이므로 그 넓이는 EF\mathrm{EF}의 길이×JK=36\displaystyle \times \mathrm{JK} = 3 \sqrt{6} 이 되고 사잇각이 60∘60 ^\circ이므로 구하고자 하는 정사영의 넓이는 S=36×cos⁡60∘=326\displaystyle S = 3 \sqrt{6} \times \cos 60 ^\circ = \frac{3}{2} \sqrt{6} 이다. 따라서 ∴4S2=54\therefore 4 S ^{2} = 54

태그

#정사영#이면각

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