사면체 정사영 넓이

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 정사영의 넓이에 대한 문제를 해결한다. 조건 (나)에서 $\angle {\mathrm{CED}} = 90 ^\circ$이므로 두 직선 ${\mathrm{BC}}$, ${\mathrm{DE}}$는 서로 수직이다. 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} \perp$(평면 ${\mathrm{BCD}} )$, $\displaystyle \overline{\mathrm{HE}} \perp \overline{{\mathrm{BC}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$ 즉 직선 ${\mathrm{BC}}$와 평면 ${\mathrm{AED}}$는 서로 수직이므로 두 직선 ${\mathrm{BC}}$, ${\mathrm{AD}}$도 서로 수직이다. $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 두 삼각형 ${\mathrm{AEH}}$, ${\mathrm{DAH}}$는 닮음이므로 $\angle {\mathrm{DAE}}$$= \angle {\mathrm{EAH}} + \angle {\mathrm{HAD}}$$= 90 ^\circ$ 그러므로 두 직선 ${\mathrm{AD}}$, ${\mathrm{AE}}$는 서로 수직이다. $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 직선 ${\mathrm{AD}}$는 평면 ${\mathrm{ABC}}$와 서로 수직이다. 정삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이므로 점 ${\mathrm{E}}$는 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점이다. 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = 2 \sqrt{3}$ 직각삼각형 ${\mathrm{AED}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$$\displaystyle = \sqrt{{\mathrm{\overline{\mathrm{DE}}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} - ( 2 \sqrt{3} ) ^{2}}$$= 2$ 직각삼각형 ${\mathrm{AED}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} \times \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AH}} \times \overline{{\mathrm{DE}}}$이므로 $\displaystyle 2 \sqrt{3} \times 2 = \overline{\mathrm{AH}} \times 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{3}$ 직각삼각형 ${\mathrm{AHD}}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} - ( \sqrt{3} ) ^{2}}$$= 1$ 삼각형 ${\mathrm{AHD}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 두 평면 ${\mathrm{ABD}}$, ${\mathrm{AHD}}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta$$= \angle {\mathrm{BAE}}$$= 30 ^\circ$이므로 구하는 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos 30 ^\circ = \frac{3}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 3$ 이므로 $p + q$$= 4 + 3$$= 7$