기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사면체 정사영

문제

그림과 같이 AB‾=9,BC‾=12,cos⁡(∠ABC)=33\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 9 , \overline{BC} = 12 , \cos ( \mathrm{\angle} ABC ) = \frac{\sqrt{3}}{3}인 사면체 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여 점 A\mathrm{A}의 평면 BCD\mathrm{BCD} 위로의 정사영을 P\mathrm{P}라 하고 점 A\mathrm{A}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하자. cos⁡(∠AQP)=36\displaystyle \cos \mathrm{(} \angle AQP ) = \frac{\sqrt{3}}{6}일 때, 삼각형 BCP\mathrm{BCP}의 넓이는 kk이다. k2k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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162

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해설

삼수선의 정리에 의하여 선분 PQ\mathrm{PQ}와 선분 BC\mathrm{BC}는 수직이고, 주어진 조건에 의하여 BQ‾=33,AQ‾=36,PQ‾=322\displaystyle \mathrm{\overline{BQ} = 3 \sqrt{3} , \overline{AQ} = 3 \sqrt{6} , \overline{PQ} = \frac{3}{2} \sqrt{2}}이다. 삼각형 BCP\mathrm{BCP}의 넓이(=k= k)는 k=12×BC‾×PQ‾=12×12×322=92\displaystyle k = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \overline{PQ} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{3}{2} \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}이고 k2=162k ^{2} = 162이다.

태그

#정사영#삼수선 정리

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