사면체 이면각

$\displaystyle \angle {\mathrm{ABC}} = \angle {\mathrm{ABD}} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \perp \left( \right.$평면 ${\mathrm{BCD}} )$ 이고 점 ${\mathrm{B}}$에서 선분 ${\mathrm{CD}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$

두 평면 ${\mathrm{ACD}}$와 ${\mathrm{BCD}}$가 이루는 각의 크기 $\theta$는 두 선분 ${\mathrm{AH}}$, ${\mathrm{BH}}$가 이루는 각의 크기와 같으므로 $\angle {\mathrm{AHB}} = \theta$ 이고 선분 ${\mathrm{AB}}$는 평면 ${\mathrm{BCD}}$에 수직이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \perp {\overline{\mathrm{BH}}}$ 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{BD}}} = 4$인 이등변삼각형이므로 점 ${\mathrm{H}}$는 선분 ${\mathrm{CD}}$의 중점이다. 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{5}{2}$이므로 직각삼각형 ${\mathrm{BCH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}} = \sqrt{4 ^{2} - \left( \frac{5}{2} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$ 따라서 직각삼각형 ${\mathrm{ABH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BH}}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} + \left( \frac{\sqrt{39}}{2} \right) ^{2}} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{{\overline{\mathrm{AH}}}} = \frac{3}{\frac{5 \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{5}$