사면체 이면각

[출제의도] 공간도형을 활용하여 문제해결하기 $\angle \mathrm{BMD}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}$$= 8$ $\angle \mathrm{BAM}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{3}$

점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{BM}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} \perp {\overline{\mathrm{BM}}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 직선 $\mathrm{AB}$와 평면 $\mathrm{ACD}$가 서로 수직이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$ 직선 $\mathrm{CD}$는 두 직선 $\mathrm{AB} , BM$과 서로 수직이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} \perp$(평면 $\mathrm{AMB}$) 직선 $\mathrm{PH}$는 평면 $\mathrm{AMB}$에 포함되므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp$(평면 $\mathrm{CDB}$) $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp$(평면 $\mathrm{CDB}$)이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PN}}} \perp {\overline{\mathrm{BD}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HN}}} \perp {\overline{\mathrm{BD}}}$ 두 삼각형 $\mathrm{DBM}$과 $\mathrm{HBN}$은 서로 닮은 도형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} : {\overline{\mathrm{MD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BN}}} : {\overline{\mathrm{NH}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{NH}}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{MD}}} \times {\overline{\mathrm{BN}}}}{{\overline{\mathrm{BM}}}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ $\angle \mathrm{BNH}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BN}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{NH}}} ^{2}$$= 25$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}}$$= 5$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}}$$= 3$ $\tan \left( \angle \mathrm{AMB} \right)$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}}$$\displaystyle = \sqrt{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PN}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HN}}} ^{2}$$= 8$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PN}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ 두 평면 $\mathrm{PDB}$, $\mathrm{CDB}$의 교선은 직선 $\mathrm{DB}$이고 평면 $\mathrm{PDB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$의 평면 $\mathrm{CDB}$ 위로의 정사영이 $\mathrm{H}$이므로 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{HN}}}}{{\overline{\mathrm{PN}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{4}$ 따라서 $40 \cos ^{2} \theta$$= 25$