기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사면체 부피

문제

사면체 ABCD\mathrm{A} BCD에서 변 AB\mathrm{A} B의 길이는 55, 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 넓이는 2020, 삼각형 ABD\mathrm{A} BD의 넓이는 1515이다. 삼각형 ABC\mathrm{A} BC와 삼각형 ABD\mathrm{A} BD가 이루는 각의 크기가 30∘30 ^\circ일 때 사면체 ABCD\mathrm{A} BCD의 부피를 구하시오. [3점]

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20

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해설

그림과 같이 꼭지점 D\mathrm{D}에서 모서리 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 E\mathrm{E}라 하고, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 삼수선의 정리에 의해 ∠EHD=90∘\mathrm{\angle} EHD = 90 ^\circ이다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 넓이는 △ABD=12⋅AB‾⋅DE‾=12⋅5⋅DE‾=15\displaystyle \mathrm{\triangle} ABD = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{DE} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \overline{DE} = 15 ∴DE‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 6 또, 삼각형 DEH\mathrm{DEH}에서 ∠DEH=30∘\mathrm{\angle} DEH = 30 ^\circ이므로 DH‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = 3 따라서, 사면체 ABCD\mathrm{ABCD}의 부피 VV는 V=13⋅△ABC⋅DH‾\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot \mathrm{\triangle} ABC \cdot \overline{DH}=13⋅20⋅3\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 3=20= 20

태그

#이면각#부피

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