삼수선의 정리와 이면각

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 공간에서 두 직선이 이루는 각의 크기, 직선과 평면이 이루는 각의 크기, 두 평면이 이루는 각의 크기, 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가? 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$, 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면, 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HG}}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$ 이다.

직각삼각형 $\mathrm{AGC}$에서 $\angle \mathrm{CAG} = \theta _{1}$이고, $\displaystyle \sin \theta _{1} = \frac{4}{5}$이므로 양수 $k$에 대하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 5 \mathit{k}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}} = \mathit{4} k$이고, $\displaystyle \cos \theta _{1} = \frac{3}{5}$이다. 또, 직각삼각형 $\mathrm{AHC}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{CAH} = \frac{\pi}{2} - \theta _{1}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta _{1} \right)$$= 5 k \times \cos \theta _{1}$$\displaystyle = 5 k \times \frac{3}{5} = 3 k$ 이때 직각삼각형 $\mathrm{CGH}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{CG}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 4 k \right) ^{2} - \left( 3 k \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{7} k$ 이고, $\angle \mathrm{CGH} = \theta _{2}$이므로 $\cos \theta _{2}$$\displaystyle = \frac{\overline{\mathrm{GH}}}{\overline{\mathrm{CG}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{7} k}{4 k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$