기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼수선의 정리

문제

평면 α\alpha 위에 AB‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 6이고 넓이가 1212인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 P\mathrm{P}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발이 점 C\mathrm{C}와 일치한다. PC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 2일 때, 점 P\mathrm{P}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리는? [3점] ①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②25\displaystyle 2 \sqrt{5}③22\displaystyle \sqrt{22}④26\displaystyle 2 \sqrt{6}⑤26\displaystyle \sqrt{26}

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②

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해설

[출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 점과 직선 사이의 거리를 구한다.

점 C\mathrm{C}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이가 1212이므로 12×6×CH‾\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times {\overline{\mathrm{CH}}}=12= 12에서 CH‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = 4 PC‾⊥\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} \perpα\alpha, CH‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} \perp {\overline{AB}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 PH‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp {\overline{AB}} 삼각형 PHC\mathrm{PHC}는 선분 PH\mathrm{PH}를 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 PH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}}=PC‾2+CH‾2\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{PC}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}}=22+42\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}}=25\displaystyle = 2 \sqrt{5} 따라서 점 P\mathrm{P}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리는 25\displaystyle 2 \sqrt{5}이다.

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#삼수선의 정리

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