삼수선의 정리

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가?

점 $H$에서 세 선분 $BC , BD , CD$에 내린 수선의 발을 각각 $E , F , G$라 하면 주어진 조건에 의하여 $\displaystyle {\overline{HE}} = k , {\overline{HF}} = 2 k , {\overline{HG}} = 3 k$ 로 놓을 수 있다. 이때 정삼각형 $BCD$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times ( k + 2 k + 3 k ) = 36 k$ 이고, 한변의 길이가 12인 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 ^{2} = 36 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle 36 k = 36 \sqrt{3}$에서 $\displaystyle k = \sqrt{3}$ 한편 점 $M$은 선분 $BD$의 중점이므로 점 $M$과 선분$CD$사이의 거리는 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$이고, $\displaystyle {\overline{HG}} = 3 \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{HM}} / / {\overline{CD}}$이다. 따라서 $\triangle CHM = \triangle DHM$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{HM}} \times {\overline{HG}} = \frac{1}{2} \times {\overline{DM}} \times {\overline{HF}}$ $\displaystyle {\overline{HM}} \times 3 \sqrt{3} = 6 \times 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle {\overline{HM}} = 4$ 한편 $\displaystyle {\overline{AH}} \perp ( \text{평면} BCD ) , {\overline{AQ}} \perp {\overline{CM}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{HQ}} \perp {\overline{CM}}$ 이때 사각형 $HQMF$는 직사각형이므로 $\displaystyle {\overline{QM}} = {\overline{HF}} = 2 \sqrt{3}$ 직각삼각형 $HQM$에서 $\displaystyle {\overline{HQ}} = \sqrt{{\overline{HM}} ^{2} - {\overline{QM}} ^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2$ 따라서 직각삼각형 $AQH$에서 $\displaystyle {\overline{AQ}} = \sqrt{{\overline{AH}} ^{2} + {\overline{HQ}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{13}$