기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼수선의 정리

문제

좌표공간에 서로 수직인 두 평면 α\alpha와 β\beta가 있다. 평면 α\alpha 위의 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에 대하여 AB‾=35\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3 \sqrt{5}이고 직선 AB\mathrm{AB}는 평면 β\beta에 평행하다. 점 A\mathrm{A}와 평면 β\beta 사이의 거리가 22이고, 평면 β\beta 위의 점 P\mathrm{P}와 평면 α\alpha 사이의 거리는 44일 때, 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? 그림과 같이 점 P\mathrm{P}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}, 점 H\mathrm{H}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H′\mathrm{H}'이라 하면 PH‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha, HH′‾⊥\displaystyle {\overline{\mathrm{HH}'}} \perp(직선 AB\mathrm{AB}) 그러므로 삼수선의 정리에 의해 PH′‾⊥\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}'}} \perp(직선 AB\mathrm{AB})

한편, 점 A\mathrm{A}와 평면 β\mathrm{\beta} 사이의 거리가 22이고 직선 AB\mathrm{AB}가 평면 β\beta와 평행하므로 HH′‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{HH}'}} = 2 또, 점 P\mathrm{P}와 평면 α\alpha 사이의 거리가 44이므로 PH‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 4 그러므로 직각삼각형 OHH′\mathrm{OHH}'에서 PH′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}'}}=PH‾2+HH′‾2\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HH}'}} ^{2}} =42+22\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}} =25\displaystyle = 2 \sqrt{5} 따라서 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이는 12×AB‾×PH′‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{PH}'}} =12×35×25\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} =15= 15

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#삼수선의 정리

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