기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼수선과 이면각

문제

공간에 선분 AB{\mathrm{AB}}를 포함하는 평면 α\alpha가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 C{\mathrm{C}}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 할 때, 점 H{\mathrm{H}}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ∠AHB=π2\displaystyle \angle \mathrm{AHB} \mathit{=} \frac{\pi}{2} (나) sin⁡(∠CAH)=sin⁡(∠ABH)=33\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{CAH} \right) = \sin \left( \angle \mathrm{ABH} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

평면 ABC{\mathrm{ABC}}와 평면 α\alpha가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? (단, 점 H{\mathrm{H}}는 선분 AB{\mathrm{AB}} 위에 있지 않다.) [3점] ①714\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{14}②77\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{7}③3714\displaystyle \frac{3 \sqrt{7}}{14}④277\displaystyle \frac{2 \sqrt{7}}{7}⑤5714\displaystyle \frac{5 \sqrt{7}}{14}

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④

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해설

CH‾=a(a>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = a \left( a > 0 \right)이라 하자. 직각삼각형 CAH{\mathrm{CAH}}에서 AC‾=3a\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{3} a, AH‾=(3a)2−a2=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} a \right) ^{2} - a ^{2}} = \sqrt{2} a 직각삼각형 ABH{\mathrm{ABH}}에서 AB‾=6a\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = \sqrt{6} a, BH‾=(6a)2−(2a)2=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{\left( \sqrt{6} a \right) ^{2} - \left( \sqrt{2} a \right) ^{2}} = 2 a 점 C{\mathrm{C}}에서 선분 AB{\mathrm{AB}}에 내린 수선의 발을 I{\mathrm{I}}라 하면 CH‾⊥α\displaystyle \overline{{\mathrm{CH}}} \perp \alpha, CI‾⊥AB‾\displaystyle \overline{{\mathrm{CI}}} \perp \overline{{\mathrm{AB}}} 삼수선의 정리에 의하여 HI‾⊥AB‾\displaystyle \overline{{\mathrm{HI}}} \perp \overline{{\mathrm{AB}}} 직각삼각형 HBI{\mathrm{HBI}}에서 HI‾=233a\displaystyle \overline{{\mathrm{HI}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a CI‾=CH‾2+HI‾2=a2+(233a)2=213a\displaystyle {\overline{\mathrm{CI}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{CH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HI}}} ^{2}} = \sqrt{a ^{2} + \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} a \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{21}}{3} a 따라서 cos⁡θ=HI‾CI‾=277\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{\mathrm{HI}}}}{{\overline{\mathrm{CI}}}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}

태그

#삼수선의 정리#이면각

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