기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼수선 정사영 넓이

문제

공간에 점 A{\mathrm{A}}에서 서로 수직으로 만나는 두 직선 ll, mm을 포함하는 평면 α\alpha가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 P{\mathrm{P}}에서 두 직선 ll, mm에 내린 수선의 발을 각각 B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}라 할 때, AB‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{3}, AC‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2이다. PA‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = 5일 때, 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 평면 PBC{\mathrm{PBC}} 위로의 정사영의 넓이는? (단, 점 B{\mathrm{B}}는 점 A{\mathrm{A}}가 아니고, 점 C{\mathrm{C}}는 점 A{\mathrm{A}}가 아니다.) [3점] ①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22\displaystyle 2 \sqrt{2}⑤463\displaystyle \frac{4 \sqrt{6}}{3}

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③

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해설

점 P{\mathrm{P}}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하면 PH‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha, PB‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 HB‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HB}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}} PH‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha, PC‾⊥AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} \perp {\overline{\mathrm{AC}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 HC‾⊥AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} \perp {\overline{\mathrm{AC}}} HB‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HB}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}, HC‾⊥AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} \perp {\overline{\mathrm{AC}}}이므로 사각형 ACHB{\mathrm{ACHB}}는 직사각형이다. AH‾=BC‾=(23)2+22=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} + 2 ^{2}} = 4 AH‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 4이고 PA‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = 5이므로 삼각형 PHA{\mathrm{PHA}}에서 PH‾=PA‾2−AH‾2=52−42=3\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}} = \sqrt{5 ^{2} - 4 ^{2}} = 3 점 H{\mathrm{H}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 I{\mathrm{I}}라 하자.

삼각형 HBC\mathrm{HBC}에서 12×4×HI‾=12×23×2\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times {\overline{\mathrm{HI}}} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2이므로 HI‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} = \sqrt{3} 삼각형 PHI\mathrm{P} {HI}에서 PI‾=PH‾2+HI‾2=32+(3)2=23\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} {\mathrm{I}}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HI}}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} + \left( \sqrt{3} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{3} PH‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha, HI‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 PI‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} {\mathrm{I}}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}} PI‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} {\mathrm{I}}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}, HI‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 평면 α\alpha와 평면 PBC{\mathrm{PBC}}가 이루는 각의 크기는 두 직선 HI{\mathrm{HI}}와 PI{\mathrm{P}} {\mathrm{I}}가 이루는 각의 크기와 같다. cos⁡(∠PIH)=HI‾PI‾=323=12\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{P}} {\mathrm{IH}} \right) = \frac{{\overline{\mathrm{HI}}}}{{\overline{{\mathrm{P}} {\mathrm{I}}}}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2} 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 넓이는 12×23×2=23\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2 = 2 \sqrt{3} 따라서 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 평면 PBC{\mathrm{PBC}} 위로의 정사영의 넓이는 23×cos⁡(∠PIH)=23×12=3\displaystyle 2 \sqrt{3} \times \cos \left( \angle {\mathrm{P}} {\mathrm{IH}} \right) = 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sqrt{3}

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#삼수선 정리#정사영

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