기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼수선 정리 거리

문제

그림과 같이 평면 α\alpha위에 ∠BAC=π2\displaystyle \angle BAC = \frac{\pi}{2}이고 AB‾=1,AC‾=3\displaystyle \overline{AB} = 1 , \overline{AC} = \sqrt{3}인 직각삼각형 ABCABC가 있다. 점 AA를 지나고 평면 α\alpha에 수직한 직선 위의 점 PP에 대하여 PA‾=2\displaystyle \overline{PA} = 2일 때, 점 PP와 직선 BCBC사이의 거리는? [3점] ①172\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}②704\displaystyle \frac{\sqrt{70}}{4}③322\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}④744\displaystyle \frac{\sqrt{74}}{4}⑤192\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{2}

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⑤

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해설

점 A\mathrm{A}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 삼수선의 정리에 의해 PH‾⊥BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \perp \overline{BC}이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 직각삼각형이므로 BC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2 AH‾×BC‾=AB‾×AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} \times \overline{BC} = \overline{AB} \times \overline{AC}에서 2AH‾=3\displaystyle 2 \mathrm{\overline{AH}} = \sqrt{3} ∴\thereforeAH‾=32\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{\sqrt{3}}{2} 직각삼각형 PAH\mathrm{PAH}에서 PH‾=22+(32)2=192\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \sqrt{2 ^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{19}}{2}

태그

#삼수선의 정리#점과 직선 거리

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