기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼수선 정리

문제

그림과 같이 평면α\alpha 위에 있는 서로 다른 두 점 A,BA , B에 대하여 평면α\alpha 위에 있지 않은 점PP를 AP‾=4\displaystyle \overline{AP} = 4, AB‾⊥AP‾\displaystyle \overline{AB} \perp \overline{AP}가 되도록 잡는다. 점PP에서 평면α\alpha에 내린 수선의 발을 HH라 할 때, PH‾=2\displaystyle \overline{PH} = 2, BH‾=27\displaystyle \overline{BH} = 2 \sqrt{7}이다. 선분ABAB의 길이는? [3점]

①15\displaystyle \sqrt{15}②4③17\displaystyle \sqrt{17}④32\displaystyle 3 \sqrt{2}⑤19\displaystyle \sqrt{19}

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②

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해설

[출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. PH‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha,, PA‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}이므로 삼수선의 정리에 의해 AB‾⊥AH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \perp {\overline{\mathrm{AH}}} 피타고라스 정리에 의해 AH‾=PA‾2−PH‾2=16−4=23\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2 ^{}}} = \sqrt{16 - 4} = 2 \sqrt{3}이므로 AB‾=BH‾2−AH‾2=28−12=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{BH}}} ^{2 ^{}} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}} = \sqrt{28 - 12} = 4

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#삼수선의 정리#피타고라스

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