삼각형의 내심 좌표

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기

$y =$$- 3$

직선 $\mathrm{AB}$를 $l$이라 하면 $\displaystyle l : y = \frac{1}{2} x - 3$ 직선 $\mathrm{BC}$를 $m$이라 하면 $\displaystyle m : y = - \frac{1}{2} x - 3$ 직선 $\mathrm{CA}$를 $n$이라 하면 $n : y = - 2 x + 12$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 내접하는 원의 중심 $\mathrm{P}$의 좌표를 ${\mathrm{P}} \left( a , b \right)$라 하자. (단, $0 < a < 10$) 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리와 점 $\mathrm{P}$와 직선 $m$ 사이의 거리가 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| a - 2 b - 6 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2}}} = \frac{\left| a + 2 b + 6 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}}$ $\left| a - 2 b - 6 \right| = \left| a + 2 b + 6 \right|$ $a = 0$ 또는 $b = - 3$ $0 < a < 10$이므로 $b = - 3$ $\cdots \text{㉠}$ 또한 점 $\mathrm{P}$와 직선 $m$ 사이의 거리와 점 $\mathrm{P}$와 직선 $n$ 사이의 거리가 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| a + 2 b + 6 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{\left| 2 a + b - 12 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}}$ $\text{㉠}$을 대입하면 $\left| a \right| = \left| 2 a - 15 \right|$ $a = 15$ 또는 $a = 5$ $0 < a < 10$이므로 $a = 5$ 그러므로 ${\mathrm{P}} \left( 5 , - 3 \right)$ 따라서 선분 $\mathrm{OP}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{5 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}} = \sqrt{34}$