삼각형과 만나는 직선의 기울기

직선 $y = kx + 5$는 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 0 , 5 \right)}$를 지나고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 모두 점 $\mathrm{P}$보다 아래쪽에 있다. 점 $\mathrm{P}$에서 세 꼭짓점을 잇는 직선의 기울기는 직선 $\mathrm{PA}$: $\displaystyle \frac{2 - 5}{- 3 - 0} = 1$ 직선 $\mathrm{PB}$: $\displaystyle \frac{1 - 5}{1 - 0} = - 4$ 직선 $\mathrm{PC}$: $\displaystyle \frac{3 - 5}{2 - 0} = - 1$ 세 꼭짓점 중 가장 왼쪽에 있는 점은 $\mathrm{A}$, 가장 오른쪽에 있는 점은 $\mathrm{C}$이므로 점 $\mathrm{P}$를 지나는 직선이 삼각형과 만나려면 직선 $\mathrm{PA}$보다 왼쪽으로 기울거나 직선 $\mathrm{PC}$보다 오른쪽으로 기울면 안 된다. 즉 직선 $\mathrm{PA}$와 직선 $\mathrm{PC}$ 사이(세로 방향을 포함)에 있어야 하므로 $k \geq 1$ 또는 $k \leq - 1$ $- 4 \leq k \leq 4$인 정수 $k$ $9$개 중 $k = 0$만 조건을 만족시키지 않는다. (실제로 $k = 0$이면 직선 $y = 5$는 삼각형과 만나지 않는다.) 따라서 구하는 개수는 $9 - 1 = 8$