대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형과 부채꼴 넓이 차

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 위의 점 A\mathrm{A}가 제22사분면에 있을 때 동경 OA\mathrm{OA}가 나타내는 각의 크기를 θ\theta라 하자. 점 B(−1,0)\mathrm{B} ( - 1 , 0 )을 지나는 직선 x=−1x = - 1과 동경 OA\mathrm{OA}가 만나는 점을 C\mathrm{C}, 점 A\mathrm{A}에서의 접선이 xx축과 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 다음 중 삼각형 OCD\mathrm{OCD}의 넓이에서 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 뺀 어두운 부분의 넓이와 항상 같은 것은? (단, π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi) [4점]

①12(−cos⁡θsin⁡2θ−π+θ)\displaystyle \frac{1}{2} \left( - \frac{\cos \theta}{\sin ^{2} \theta} - \pi + \theta \right)②12(−sin⁡θcos⁡2θ−π+θ)\displaystyle \frac{1}{2} \left( - \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} - \pi + \theta \right)③12(cos⁡2θsin⁡θ−θ)\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta} - \theta \right)④12(sin⁡θcos⁡2θ−π+θ)\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} - \pi + \theta \right)⑤12(sin⁡2θcos⁡θ−θ)\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta} - \theta \right)

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 삼각형 OBC\mathrm{OBC}에서 BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}=tan⁡(π−θ)= \tan ( \pi - \theta )=−tan⁡θ= - \tan \theta 삼각형 OAD\mathrm{OAD}에서 ∠OAD=90∘\mathrm{\angle} OAD = 90 ^\circ이므로 cos⁡(π−θ)=1OD‾\displaystyle \cos ( \pi - \theta ) = \frac{1}{\mathrm{\overline{OD}}} ∴ OD‾\displaystyle \mathrm{\overline{OD}}=1cos⁡(π−θ)\displaystyle = \frac{1}{\cos ( \pi - \theta )}=−1cos⁡θ\displaystyle = - \frac{1}{\cos \theta} (삼각형 OCD\mathrm{OCD}의 넓이)-(부채꼴OAB\mathrm{OAB}의 넓이) =12(−tan⁡θ)×\displaystyle = \frac{1}{2} ( - \tan \theta ) \times(−1cos⁡θ)\displaystyle \left( - \frac{1}{\cos \theta} \right)−12×12×(π−θ)\displaystyle - \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times ( \pi - \theta ) =12(sin⁡θcos⁡2θ−π+θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} - \pi + \theta \right) [다른풀이] BC‾=tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \tan ( \pi - \theta ) = - \tan \theta 원 위의 점 A(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathrm{A} ( \cos \theta , \sin \theta )에서 그은 접선의 방정식은 xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x \cos \theta + y \sin \theta = 1이므로 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (1cos⁡θ,0)\displaystyle \left( \frac{1}{\cos \theta} , 0 \right)이다. ∴ OD‾\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{OD}}}=−1cos⁡θ\displaystyle = - \frac{1}{\cos \theta} (삼각형 OCD\mathrm{OCD}의 넓이)-(부채꼴OAB\mathrm{OAB}의 넓이) =12(−tan⁡θ)×\displaystyle = \frac{1}{2} ( - \tan \theta ) \times(−1cos⁡θ)\displaystyle \left( - \frac{1}{\cos \theta} \right)−12×12×(π−θ)\displaystyle - \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times ( \pi - \theta ) =12(sin⁡θcos⁡2θ−π+θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} - \pi + \theta \right)

태그

#부채꼴#삼각함수 정의

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 삼각함수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로