삼각형 수 배열

[출제의도] 규칙성을 찾고 계차수열을 이용하여 그 수열의 합을 구한다. 그림의 왼쪽에서 $3$번째 원에 적혀있는 수들로 제$3$행부터 차례로 나열하여 수열을 만들자. 그 수열을 $\left\{ a _{n} \right\}$이라고 하면 $\left\{ a _{n} \right\} :$$1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , \cdots$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열을 $\left\{ b _{n} \right\}$이라 하자. $b _{k}$는 $b _{k} = a _{k + 1} - a _{k}$이므로 $\left\{ b _{k} \right\} :$$4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $\cdots$ 그러므로 $b _{k} = 4 k$ $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} b _{k}$$\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 4 k$$\displaystyle = 1 + 4 \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k$ $\displaystyle = 1 + 4 \times \frac{( n - 1 ) n}{2}$$= 2 n ^{2} - 2 n + 1$ $22$행의 왼쪽에서 $3$번째 원에 적혀 있는 수는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 $20$번째 항이므로 구하는 값은 $a _{20} = 2 \times 20 ^{2} - 2 \times 20 + 1 = 761$ [참고] 그림의 왼쪽에서 $2$번째 원에 적혀있는 수들로 제$2$행부터 차례로 나열하여 만든 수열을 $\left\{ c _{n} \right\}$이라 하자. $c _{1} = 1$ $n \geq 2$일 때, $c _{n} = 1 + 1 + c _{n-1}$이므로 $c _{n} = c _{n-1} + 2$ 즉, 수열 $\left\{ c _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$이고, 공차가 $2$인 등차수열이므로 $c _{n} = 2 n - 1$ $a _{1} = 1$ $n \geq 2$일 때, $a _{n} = c _{n-1} + c _{n} + a _{n-1}$이므로 $a _{n} - a _{n - 1} = c _{n - 1} + c _{n}$ $= ( 2 n - 3 ) + ( 2 n - 1 )$ $= 4 n - 4$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 계차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항은 $b _{n} = a _{n+1} - a _{n} = 4 ( n + 1 ) - 4 = 4 n$