삼각형 속 선분의 비

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 점 $\mathrm{D}$를 지나고 선분 $\mathrm{AM}$과 평행한 직선이 두 선분 $\mathrm{BE}$, $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하자. 점 $\mathrm{E}$를 지나고 선분 $\mathrm{AM}$과 평행한 직선이 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{T}$라 하자. 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$가 변 $\mathrm{AC}$를 삼등분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DE} = \overline{EC}$이고 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{MS}} = \overline{ST} = \overline{TC}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \overline{MC}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} : \overline{BS} = 3 : 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{DS}}$는 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{BMQ}$와 $\mathrm{BSR}$는 서로 닮음이고, 두 삼각형 $\mathrm{BPQ}$와 $\mathrm{BDR}$는 서로 닮음이다. 이때 닮음비는 모두 $3 : 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} : {\overline{BR}} = \overline{PQ} : \overline{DR} = 3 : 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DR}} = \frac{4}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{DR}}$는 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{AQE}$와 $\mathrm{DRE}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DE}$이므로 닮음비는 $2 : 1$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 2 \overline{DR} = \frac{8}{3}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{ET}}$는 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{BMQ}$와 $\mathrm{BTE}$는 서로 닮음이다. 닮음비는 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} : \overline{BT} = 3 : 5$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} : \overline{ET} = 3 : 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{ET}} = \frac{\mathit{5}}{3} x$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{ET}}$는 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{CAM}$과 $\mathrm{CET}$는 서로 닮음이다. 닮음비는 $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} : \overline{CT} = 3 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$$\displaystyle = 3 \mathrm{\overline{ET}}$$\displaystyle = 3 \times \frac{5}{3} \mathit{x} = 5 x$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AM}} - {\overline{QM}}$$= 4 x$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 4 x = \frac{8}{3}$, $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$$= 5 x$$\displaystyle = \frac{10}{3}$ 따라서 구하는 값은 $p = 3$, $q = 10$이므로 $p + q = 13$ [다른 풀이]

그림과 같이 두 점 $\mathrm{M}$과 $\mathrm{E}$를 선분으로 연결하면 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이고 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{CD}$의 중점이다. 삼각형의 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{ME}}$는 서로 평행이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{ME}} : \overline{BD} = 1 : 2$ 삼각형 $\mathrm{AME}$에서 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AE}$의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의해 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AM}$의 중점이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PD}} : \overline{ME} = 1 : 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{ME}}$는 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{BPQ}$와 $\mathrm{EMQ}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : \overline{ME} = 3 : 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} : \overline{QM} = 3 : 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} = \frac{2}{3}$ 그러므로 두 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{PQ}} + {\overline{QM}}$$\displaystyle = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$$\displaystyle \mathrm{=} 2 {\overline{PM}}$$\displaystyle = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ 따라서 구하는 값은 $p = 3$, $q = 10$에서 $p + q = 13$ [참고]

그림과 같이 점 $\mathrm{D}$를 지나고 선분 $\mathrm{BE}$에 평행한 선분을 그어 같은 방법으로 해결할 수도 있다.