미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이와 길이의 극한

문제

[13~14] 자연수 nn에 대하여 좌표가 (0,2n+1)( 0 , 2 n + 1 )인 점을 P\mathrm{P}라 하고, 함수 f(x)=nx2f ( x ) = nx ^{2}의 그래프 위의 점 중 yy좌표가 11이고 제11사분면에 있는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 1313번과 1414번의 두 물음에 답하시오.

점 R(0,1)\mathrm{R} ( 0 , 1 )에 대하여 삼각형 PRQ\mathrm{PRQ}의 넓이를 SnS _{n}, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn2ln\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {\frac{S _{n} ^{2}}{l _{n}}}의 값은? [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②54\displaystyle \frac{5}{4}③11④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 넓이와 길이를 이용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가? Q(1n,1)\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} , 1 \right)이므로 PR‾=2n\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = 2 n, QR‾=1n\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = \frac{1}{\sqrt{n}} Sn=12×1n×2n=n\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{n}} \times 2 n = \sqrt{n} ln=4n2+1n\displaystyle l _{n} = \sqrt{4 n ^{2} + \frac{1}{n}} ∴lim⁡n→∞Sn2ln\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n} ^{2}}{l _{n}}=lim⁡n→∞n4n2+1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n}{\sqrt{4 n ^{2} + \frac{1}{n}}}=lim⁡n→∞14+1n3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{n ^{3}}}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

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