미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이의 극한

문제

원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1위를 움직이는 제11사분면 위의 점 P(α,β)\mathrm{P} ( \mathit{\alpha} , \beta )를 지나고 xx축과 평행한 직선을 그어 원과 만나는 다른 점을 Q\mathrm{Q}, xx축 위의 한 점을 R\mathrm{R}라 하자. 삼각형 PQR\mathrm{PQR}의 넓이를 S(α)S ( \alpha )라 할 때, lim⁡α→1−0S(α)1−α\displaystyle \lim\limits _{\alpha \rightarrow 1 - 0} {\frac{S ( \alpha )}{\sqrt{1 - \alpha}}}의 값은? [4점]

①11②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22⑤5\displaystyle \sqrt{5}

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②

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 S(α)=α1−α2\displaystyle S ( \alpha ) = \alpha \sqrt{1 - \alpha ^{2}}이므로 lim⁡α→1−0α1−α21−α=lim⁡α→1−0α(1−α)(1+α)1−α=lim⁡α→1−0α1+α=2\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{\alpha \rightarrow 1 - 0} {\frac{\alpha \sqrt{1 - \alpha ^{2}}}{\sqrt{1 - \alpha}}} = \lim\limits _{\alpha \rightarrow 1 - 0} {\frac{\alpha \sqrt{\left( 1 - \alpha \right) \left( 1 + \alpha \right)}}{\sqrt{1 - \alpha}}} \\ \\ = \lim\limits _{\alpha \rightarrow 1 - 0} {\alpha \sqrt{1 + \alpha}} = \sqrt{2} \end{aligned}

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#함수의 극한#원

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