삼각형 넓이의 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한을 이해하여 도형의 넓이의 극한값을 구하는 문제를 해결한다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathrm{\overline{AC}}$이고 $\mathrm{\angle} BAC = \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} BCA = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} BDA = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BC}} \times \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right)$$\displaystyle = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ 점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{AEH}$와 $\mathrm{ABD}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $1 : 2$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{BC}} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right)$$\displaystyle = \cos \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times {\overline{\mathrm{EH}}}$$\displaystyle = \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{1}{2} \times \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \times c os \frac{\theta}{2} \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle 60 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta}} = 30$