미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이의 극한

문제

좌표평면에서 그림과 같이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 PP에 대하여 선분 OPOP가 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ(0<θ<π4)\displaystyle \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right)라 하자. 점 PP를 지나고 xx축에 평행한 직선이 곡선 y=ex−1y = e ^{x} - 1과 만나는 점을 QQ라 하고, 점 QQ에서 xx축에 내린 수선의 발을 RR라 하자. 선분 OPOP와 선분 QRQR의 교점을 TT라 할 때, 삼각형 OTROTR의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right)라 하자 lim⁡θ→+0S(θ)θ3=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{3}} = a}일 때, 60a60 a의 값을 구하시오. [4점]

확률과 통계

정답 보기
3030

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

점 PP의 좌표를 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P \left( \cos \theta , \sin \theta \right)라고 하면 Q(ln⁡(sin⁡θ+1),sin⁡θ)Q \left( \ln \left( \sin \theta + 1 \right) , \sin \theta \right) R(ln⁡(sin⁡θ+1),0)R \left( \ln \left( \sin \theta + 1 \right) , 0 \right)이고 이 때 직선 OPOP의 방정식은 y=tan⁡θxy = \tan \theta x이므로 점 TT의 좌표는 T(ln⁡(sin⁡θ+1),tan⁡θln⁡(sin⁡θ+1))T \left( \ln \left( \sin \theta + 1 \right) , \tan \theta \ln ( \sin \theta + 1 ) \right)이다. 따라서 삼각형 ORTORT의 넓이 S(θ)=12tan⁡θ{ln⁡(1+sin⁡θ)}2\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \tan \theta \left\{ \ln \left( 1 + \sin \theta \right) \right\} ^{2}이므로 lim⁡θ→+0S(θ)θ3=12lim⁡θ→+0tan⁡θ{ln⁡(1+sin⁡θ)}2θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{3}} = \frac{1}{2} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\tan \theta \left\{ \ln \left( 1 + \sin \theta \right) \right\} ^{2}}{\theta ^{3}}}} =12lim⁡θ→+0tan⁡θθlim⁡θ→+0{ln⁡(1+sin⁡θ)}2θ2\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\tan \theta}{\theta}} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\left\{ \ln \left( 1 + \sin \theta \right) \right\} ^{2}}{\theta ^{2}}} =12lim⁡θ→+0tan⁡θθlim⁡θ→+0{{ln⁡(1+sin⁡θ)}θ}2\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\tan \theta}{\theta}} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left. \left\{ \frac{\left\{ \ln \left( 1 + \sin \theta \right) \right\}}{\theta} \right. \right\} ^{2}} =12lim⁡θ→+0tan⁡θθlim⁡θ→+0[ln⁡(1+sin⁡θ)1sin⁡θ∙sin⁡θθ]2\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\tan \theta}{\theta}} \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left[ \ln \left( 1 + \sin \theta \right) ^{\frac{1}{\sin \theta} \bullet \frac{\sin \theta}{\theta}} \right] ^{2}} =12×1×1=12=a\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} = a ∴60a=60×12=30\displaystyle \therefore 60 a = 60 \times \frac{1}{2} = 30

태그

#삼각함수의 극한#로그함수의 극한

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로