미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이비 극한

문제

그림과 같이 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ 과 $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 가 점 $\mathrm{A} \left( 1 , 1 \right)$ 에서 만난다. 직선 $y = t$ $\left( t > 1 \right)$ 이 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ , $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $y$ 축과 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 넓이를 $f \left( t \right)$ , 삼각형 $\mathrm{ADC}$ 의 넓이를 $g \left( t \right)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {} \frac{g \left( t \right)}{f \left( t \right)}$ 의 값은? [4점]

$\displaystyle y = \sqrt{x}$ $\displaystyle y = \frac{1}{x}$

① $2$ ② $\displaystyle \frac{9}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{4}$ ⑤ $3$

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극한에 대한 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 점 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\mathit{1}}{t} , t \right)$ , 점 $\mathrm{C} \left( \mathit{t} ^{2} , t \right)$ 이므로 점 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \mathit{t} ^{2} , \frac{1}{t ^{2}} \right)$ $f \left( t \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( t ^{2} - \frac{1}{t} \right) \left( t - 1 \right)$ $g \left( t \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t ^{2}} \right) \left( t ^{2} - 1 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{g \left( t \right)}{f \left( t \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{\left( t - \frac{1}{t ^{2}} \right) \left( t ^{2} - 1 \right)}{\left( t ^{2} - \frac{1}{t} \right) \left( t - 1 \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{\left( t ^{3} - 1 \right) \left( t ^{2} - 1 \right)}{t \left( t ^{3} - 1 \right) \left( t - 1 \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {\frac{t + 1}{t} = 2}$ 따라서 $2$

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