미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이비 극한

문제

그림과 같이 직선 x=tx = t (0<t<10 < t < 1)이 세 곡선 y=1−x22\displaystyle y = 1 - \frac{x ^{2}}{2}, y=1−x2\displaystyle y = \sqrt{1 - x ^{2}}, y=sin⁡4xy = \sin ^{4} x 및 xx축과 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 두 삼각형 AOB\mathrm{AOB}, COD\mathrm{COD}의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}라 할 때, lim⁡t→0+S1S2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{S _{1}}{S _{2}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②14\displaystyle \frac{1}{4}③38\displaystyle \frac{3}{8}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤58\displaystyle \frac{5}{8}

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①

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해설

두 삼각형 AOB\mathrm{AOB}, COD\mathrm{COD}의 넓이를 구할 때, 두 삼각형의 밑변을 각각 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}, CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}로 잡으면 점 O\mathrm{O}에서 직선 x=tx = t에 이르는 거리가 두 삼각형의 높이이므로 S1S2\displaystyle \frac{S _{1}}{S _{2}}=AB‾CD‾\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\mathrm{\overline{CD}}}이다. ∴ lim⁡t→0+S1S2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{S _{1}}{S _{2}}=lim⁡t→0+AB‾CD‾\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\mathrm{\overline{CD}}} =lim⁡t→0+1−t22−1−t2sin⁡4t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{1 - \frac{t ^{2}}{2} - \sqrt{1 - t ^{2}}}{\sin ^{4} t} =lim⁡t→0+t44sin⁡4t(1−t22+1−t2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\frac{t ^{4}}{4}}{\sin ^{4} t \left( 1 - \frac{t ^{2}}{2} + \sqrt{1 - t ^{2}} \right)} =lim⁡t→0+1(sin⁡tt)4⋅14(1−t22+1−t2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{1}{\left( \frac{\sin t}{t} \right) ^{4}} \cdot \frac{1}{4 \left( 1 - \frac{t ^{2}}{2} + \sqrt{1 - t ^{2}} \right)} =1⋅14⋅2\displaystyle = 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}=18\displaystyle = \frac{1}{8}

태그

#삼각함수의 극한#유리화

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