대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 수열의 합

문제

자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 곡선 y=x\displaystyle y = \sqrt{x}, y=−x+1\displaystyle y = - \sqrt{x + 1}과 만나는 점을 각각 An{\mathrm{A}} _{n}, Bn{\mathrm{B}} _{n}이라 하자. 삼각형 AnOBn{\mathrm{A}} _{\mathit{n}} {\mathrm{O}} {\mathrm{B}} _{\mathit{n}}의 넓이를 TnT _{n}이라 할 때, ∑n=124nTn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{n}{T _{n}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} y=−x+1\displaystyle y = - \sqrt{x + 1} y=x\displaystyle y = \sqrt{x}

①132\displaystyle \frac{13}{2}②77③152\displaystyle \frac{15}{2}④88⑤172\displaystyle {} \frac{17}{2}

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④

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해설

직선 x=nx = n이 두 곡선 y=x\displaystyle y = \sqrt{x}, y=−x+1\displaystyle y = - \sqrt{x + 1}과 만나는 점은 각각 An(n,n)\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{_{n}} \left( n , \sqrt{n} \right), Bn(n,−n+1)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} \left( n , - \sqrt{n + 1} \right) Tn=12n(n+n+1)\displaystyle T _{n} = \frac{1}{2} n \left( \sqrt{n} + \sqrt{n + 1} \right)이므로 ∑n=124nTn=∑n=1242n+n+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{n}{T _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}=2∑n=124(n+1−n)\displaystyle = 2 \sum\limits _{n = 1} ^{24} \left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) =2×(5−1)=8= 2 \times \left( 5 - 1 \right) = 8

태그

#소거형 합#유리화

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