대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 수열 합

문제

모든 자연수 nn에 대하여 곡선 y=x\displaystyle y = \sqrt{x} 위의 점 An(n2,n){\mathrm{A}} _{n} ( n ^{2} , n )과 곡선 y=−x2y = \mathit{-} x ^{2} (x≥0x \geq 0) 위의 점 Bn{\mathrm{B}} _{n}이 OAn‾=OBn‾\displaystyle \overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}} = \overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n}}}을 만족시킨다. 삼각형 AnOBn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{OB} _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1102Snn2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} {} \frac{2 S _{n}}{n ^{2}}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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395

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해설

직삼각형 OAnBn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}은 직각이등변삼각형이므로 Sn=12(n2+n4)\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} ( n ^{2} + n ^{4} ) ∑n=1102Snn2\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} \frac{2 S _{n}}{n ^{2}}=∑n=110(1+n2)\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{10} ( 1 + n ^{2} )=10+16(10)(11)(21)\displaystyle = 10 + \frac{1}{6} ( 10 ) ( 11 ) ( 21 ) =395= 395

태그

#시그마#직각이등변삼각형

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