삼각형 넓이 합

자연수 $n$에 대하여 두 점 ${\mathrm{A}} _{n}$, ${\mathrm{B}} _{n}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha _{n}$, $\beta _{n} \left( \alpha _{n} < \beta _{n} \right)$이라 하면 $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$은 $x$에 대한 방정식 $x ^{2} - nx - 2 n ^{2} = x + n$의 실근이다. $x ^{2} - \left( n + 1 \right) x - n \left( 2 n + 1 \right) = 0$ $\left( x + n \right) \left( x - 2 n - 1 \right) = 0$에서 $\alpha _{n} = - n$, $\beta _{n} = 2 n + 1$ 두 점 ${\mathrm{A}} _{n} \left( - n , 0 \right)$, ${\mathrm{B}} _{n} \left( 2 n + 1 , 3 n + 1 \right)$에 대하여 점 ${\mathrm{B}} _{n}$에서 직선 ${\mathrm{OA}} _{n}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}} _{n}$이라 하면 ${\mathrm{H}} _{n} \left( 2 n + 1 , 0 \right)$ $S _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{{\mathrm{OA}} _{n}}} \times {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{n}} {\mathrm{H}} \mathit{_{n}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times n \times \left( 3 n + 1 \right) = \frac{3}{2} n ^{2} + \frac{1}{2} n$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{4} S _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{4} \left( \frac{3}{2} k ^{2} + \frac{1}{2} k \right)$$\displaystyle = \frac{3}{2} \times \frac{4 \times 5 \times 9}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{4 \times 5}{2}$ $= 50$