미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 넓이가 MM인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 자연수 nn과 선분 AC\mathrm{AC}위의 두 점 D,E\mathrm{D} , E에 대하여 AD‾:DE‾:EC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{DE} : \overline{EC}=n:(2n+1):(3n+2)= n : ( 2 n + 1 ) : ( 3 n + 2 )이고 DF‾//AB‾,GE‾//BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} / / \mathrm{\overline{AB}} , \mathrm{\overline{G E}} / / \mathrm{\overline{BC}}이다. 선분 DF\mathrm{DF}와 선분 GE\mathrm{G} E의 교점을 지나는 선분 HI\mathrm{HI}는 선분 AC\mathrm{AC}와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{S} _{n}}=qp\displaystyle = \frac{q}{p}MM이다. p+qp + q의 값을 구하시오.(단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=lim⁡n→∞{n2M(6n+3)2+(2n+1)2M(6n+3)2+(3n+2)2M(6n+3)2}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \left\{ \frac{n ^{2} M}{( 6 n + 3 ) ^{2}} + \frac{( 2 n + 1 ) ^{2} M}{( 6 n + 3 ) ^{2}} + \frac{( 3 n + 2 ) ^{2} M}{( 6 n + 3 ) ^{2}} \right. \right\}}=718M\displaystyle = \frac{7}{18} M ∴\thereforep+q=25p + q = 25

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