삼각형 넓이 극한

함수 $y$$= e ^{x ^{2}} - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 와 직선 $y = t$와의 교점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $t$$= e ^{x ^{2}} - 1$, $e ^{x ^{2}} = 1 + t$, $\displaystyle x = \sqrt{\ln \left( 1 + t \right)}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \sqrt{\ln \left( 1 + t \right)} , t \right)}$ 곡선 ㉠과 직선 $y = 5 t$와의 교점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $5 t$$= e ^{x ^{2}} - 1$, $e ^{x ^{2}} = 1 + 5 t$, $\displaystyle x = \sqrt{\ln \left( 1 + 5 t \right)}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \sqrt{\ln \left( 1 + 5 t \right)} , 5 t \right)}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $S \left( t \right)$이므로 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $S \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \overline{AH}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 5 t \times \left( \sqrt{\ln \left( 1 + 5 t \right)} - \sqrt{\ln \left( 1 + t \right)} \right)$ $\displaystyle \frac{S \left( t \right)}{t \sqrt{t}}$$\displaystyle = \frac{5}{2} \times \left( \sqrt{\frac{\ln \left( 1 + 5 t \right)}{t}} - \sqrt{\frac{\ln \left( 1 + t \right)}{t}} \right)$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( t \right)}{t \sqrt{t}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{5}{2} \times \left( \sqrt{\frac{\ln \left( 1 + 5 t \right)}{t}} - \sqrt{\frac{\ln \left( 1 + t \right)}{t}} \right)}$ $\displaystyle = \frac{5}{2} \left( \sqrt{5} - 1 \right)$