삼각형 넓이 등비수열 보기

$\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} n h _{n}$ $\cdots \text{㉠}$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이므로 공비를 $r$라 하면 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} r ^{n-1}$$\cdots \text{㉡}$ ㄱ. 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2}$이면 ㉠에서 $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{1}{2} n h _{n}$ ∴ $\displaystyle h _{n} = \frac{1}{n}$ (참) ㄴ. $\displaystyle h _{2} = \frac{1}{4}$이면 ㉠과 ㉡에서 $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot r$ ∴ $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$ (참) ㄷ. $\displaystyle h _{2} < \frac{1}{2}$이면 $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h _{2} = \frac{1}{2} \cdot r$에서 $0 < r = 2 h _{2} < 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} n h _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} r ^{n-1} = 0$ (참) ($\because$㉠, ㉡에서 $nh _{n} = r ^{n-1}$) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.