삼각형 넓이 최솟값

직선 $\mathrm{OP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{b}{a}$이므로 점 $\mathrm{P}$를 지나고 직선 $\mathrm{OP}$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{a}{b} ( x - a ) + b$ 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , b + \frac{a ^{2}}{b} \right)$ $a > 0 , b > 0$이므로 삼각형 $\mathrm{OQR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{a} \times \left( b + \frac{a ^{2}}{b} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right)$ $\displaystyle {\geq} \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} = 1$ (단, 등호는 $a = b$일 때 성립한다.) 따라서 삼각형 $\mathrm{OQR}$의 넓이의 최솟값은 $1$