삼각형 넓이 최솟값

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$는 직선 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$의 $x$절편, $y$절편이므로 $\mathrm{A} ( \mathit{a} , 0 ) , \mathrm{B} ( \mathit{0} , b )$ 이다.

따라서 $\triangle \mathrm{OAB}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} ab$ …㉠ 또, 직선 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 가 $\mathrm{P} ( 2 , 1 )$을 지나므로 $\displaystyle \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ …㉡ $\displaystyle \frac{2}{a} > 0 , \frac{1}{b} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle 1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2 \sqrt{\frac{2}{ab}}$ $\displaystyle 1 \geq 2 \sqrt{\frac{2}{ab}}$의 양변을 제곱하면 $\displaystyle 1 \geq \frac{8}{ab}$ ∴ ${ab} \geq 8$ ∴ $\displaystyle S = \frac{1}{2} ab \geq 4$ 따라서 $\triangle \mathrm{OAB}$ 의 넓이 $S$의 최솟값은 $4$이다.