미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 비 극한

문제

한 변의 길이가 11인 정사각형 ABCDABCD의 변 ABAB위의 점 PP에 대하여 ∠BCP=θ\angle BCP = \theta라 하고, 변 ADAD위의 점 QQ를 ∠PCQ=π4\displaystyle \angle PCQ = \frac{\pi}{4}가 되도록 잡는다. 삼각형 APQAPQ의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 BCPBCP의 내접원의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→+0g(θ)θ×f(θ)=qpπ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{g ( \theta )}{\theta \times f ( \theta )} = \frac{q}{p} \pi 이다. 10p+q10 p + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

PB‾=tan⁡θ\displaystyle \overline{PB} = \tan \theta, ∠QCD=π4−θ\displaystyle \angle QCD = \frac{\pi}{4} - \theta이므로 QD‾=tan⁡(π4−θ)\displaystyle \overline{QD} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) PA‾=1−tan⁡θ\displaystyle \overline{PA} = 1 - \tan \theta, QA‾=1−tan⁡(π4−θ)\displaystyle \overline{QA} = 1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) ∴f(θ)=12×(1−tan⁡θ)×{1−tan⁡(π4−θ)}\displaystyle \therefore f ( \theta ) = \frac{1}{2} \times ( 1 - \tan \theta ) \times \left\{ 1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\} PC‾=sec⁡θ\displaystyle \overline{PC} = \sec \theta, 내접원의 반지름을 rr이라 하면 △PBC\triangle PBC의 넓이는 12r(1+tan⁡θ+sec⁡θ)=12tan⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} r ( 1 + \tan \theta + \sec \theta ) = \frac{1}{2} \tan \theta, r=tan⁡θ1+tan⁡θ+sec⁡θ=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+1\displaystyle r = \frac{\tan \theta}{1 + \tan \theta + \sec \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta + 1} ∴g(θ)=π(sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+1)2\displaystyle \therefore g ( \theta ) = \pi \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta + 1} \right) ^{2} lim⁡θ→+0g(θ)θ×f(θ)=lim⁡θ→+0π(sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+1)2θ×12⋅(1−tan⁡θ)⋅{1−tan⁡(π4−θ)}=lim⁡θ→+014πsin⁡2θ12θ{1−tan⁡(π4−θ)}\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{g ( \theta )}{\theta \times f ( \theta )} \\ = \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{\pi \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta + 1} \right) ^{2}}{\theta \times \frac{1}{2} \cdot ( 1 - \tan \theta ) \cdot \left\{ 1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\}} \\ = \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{\frac{1}{4} \pi \sin ^{2} \theta}{\frac{1}{2} \theta \left\{ 1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\}} \end{aligned} =lim⁡θ→+012πsin⁡θ1−1−tan⁡θ1+tan⁡θ=lim⁡θ→+012πsin⁡θ2tan⁡θ1+tan⁡θ=14π\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{\frac{1}{2} \pi \sin \theta}{1 - \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{\frac{1}{2} \pi \sin \theta}{\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan \theta}} = \frac{1}{4} \pi qpπ=14π\displaystyle \frac{q}{p} \pi = \frac{1}{4} \pi이므로 ∴10p+q=41\therefore 10 p + q = 41

태그

#삼각함수의 극한#내접원

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