미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 비 극한

문제

그림과 같이 길이가 2\mathrm{2}인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 P{\mathrm{P}}가 있고, 선분 AB{\mathrm{AB}} 위에 점 Q{\mathrm{Q}}가 있다. ∠PAB=θ\angle {\mathrm{PAB}} \mathit{=} \theta이고 ∠APQ=θ3\displaystyle \angle {\mathrm{APQ}} \mathit{=} \frac{\theta}{3}일 때, 삼각형 PAQ{\mathrm{PAQ}}의 넓이를 S(θ)S ( \theta ), 선분 PB{\mathrm{PB}}의 길이를 l(θ)l ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)l(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S ( \theta )}{l ( \theta )}의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

①112\displaystyle \frac{1}{12}②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤512\displaystyle \frac{5}{12}

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③

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해설

AP‾=2cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2 \cos \theta, AQ‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} =AP‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}×sin⁡θ3sin⁡43θ\displaystyle \times \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{\sin {\frac{4}{3} \theta}}=2cos⁡θsin⁡θ3sin⁡43θ\displaystyle = \frac{2 \cos \theta \sin \frac{\theta}{3}}{\sin \frac{4}{3} \theta} S(θ)=12AP‾AQ‾sin⁡θ\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{AP}} \overline{AQ} \sin \theta=2cos⁡2θsin⁡θ3sin⁡θsin⁡43θ\displaystyle = \frac{2 \cos ^{2} \theta \sin \frac{\theta}{3} \sin \theta}{\sin \frac{4}{3} \theta} l(θ)=2sin⁡θl ( \theta ) = \mathrm{2} \sin \theta ∴\thereforelim⁡θ→0+S(θ)l(θ)=\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S ( \theta )}{l ( \theta )} =lim⁡θ→0+sin⁡θ3sin⁡43θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{\sin \frac{4}{3} \theta}=14\displaystyle = \frac{1}{4}

태그

#삼각함수의 극한#사인법칙

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