삼각형 넓이 비

[출제의도] 닮은 삼각형의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

선분 $\mathrm{BD}$의 중점을 $\mathrm{G}$라 하고 두 점 $\mathrm{G}$, $\mathrm{E}$를 선분으로 연결하면 $\mathrm{\triangle} BCD \backsim \triangle BEG$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \frac{1}{2} {\overline{CD}}$ 선분 $\mathrm{BD}$의 중점이 $\mathrm{G}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{G E}} / / \overline{DC}$ 또, $\mathrm{\triangle} A G E$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} / / \overline{G E}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DG}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{FE}$ 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{F}$는 각각 선분 $\mathrm{AG}$와 선분 $\mathrm{AE}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} {\overline{EG}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} {\overline{CD}} \right)$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{4} {\overline{CD}}$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{CD}} - {\overline{FD}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{CD}} - \frac{1}{4} {\overline{CD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{3}{4} {\overline{CD}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} : \mathrm{\overline{CF}} = 1 : 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = 3 {\overline{DF}}$ 따라서 두 삼각형 $\mathrm{ADF}$, $\mathrm{FEC}$의 넓이를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \mathrm{\triangle} ADF = \frac{1}{2} \times {\overline{DF}} \times {\overline{AF}} \times \sin ( \angle \mathrm{AFD} )$ $\mathrm{\triangle} FEC$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{CF}} \times {\overline{FE}} \times \sin ( \angle \mathrm{CFE} )$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \left( 3 {\overline{DF}} \right) \times {\overline{AF}} \times \sin ( \angle \mathrm{AFD} )$ $= 3 \times \mathrm{\triangle} ADF$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\triangle ADF}}{\triangle FEC} = \frac{1}{3}$ [다른풀이]

선분 $\mathrm{BD}$의 중점을 $\mathrm{G}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{G E}} / / \overline{DC}$ 또, $\mathrm{\triangle} A G E$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} / / \overline{G E}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DG}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{FE}$ $\mathrm{\triangle} ABF = \triangle FBE = \triangle FEC = \triangle FCA$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : {\overline{DB}} = 1 : 2$이므로 $\mathrm{\triangle} ADF$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{3} \triangle ABF$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{3} \triangle FEC$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\triangle ADF}}{\triangle FEC} = \frac{1}{3}$