공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각형 내부 점 부등식 증명

문제

다음은 △ABC\mathrm{\triangle} ABC에서 BC‾≺AC‾≺AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \prec \overline{AC} \prec \overline{AB}일 때, 삼각형 내부의 한 점 P\mathrm{P}에 대하여 PA‾+PB‾+PC‾≺AB‾+AC‾\displaystyle \overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} \prec \overline{AB} + \overline{AC} 임을 증명한 것이다.

[ 보 기 ]
가정에 의해 BC‾≺AC‾≺AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \prec \overline{AC} \prec \overline{AB} 이므로 ∠A≺∠B≺∠C\mathrm{\angle} A \prec \angle B \prec \angle C 점 P\mathrm{P}를 지나고 선분 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선이 선분 AB,AC\mathrm{AB} , AC 와 만나는 점을 각각 D,E\mathrm{D} , E라고 하자. 선분 DE\mathrm{DE}와 선분 BC\mathrm{BC}가 평행하므로 ∠ADE=∠B,∠AED=∠C\mathrm{\angle} ADE = \angle B , \angle AED = \angle C 따라서, ∠A≺∠ADE≺∠AED\mathrm{\angle} A \prec \angle ADE \prec \angle AED 그러므로 △ADE\mathrm{\triangle} ADE에서 □(가)⋯⋯①\square {\text{(가)}} \cdots \cdots \text{①}이고 PA‾≺AD‾⋯⋯②\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} \prec \overline{AD} \cdots \cdots \text{②} △BDP\mathrm{\triangle} BDP에서 PB‾≺PD‾+DB‾⋯⋯③\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} \prec \overline{PD} + \overline{DB} \cdots \cdots \text{③} △EPC\mathrm{\triangle} EPC에서 PC‾≺PE‾+EC‾⋯⋯④\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} \prec \overline{PE} + \overline{EC} \cdots \cdots \text{④} ①, ②, ③, ④에서 PA‾+PB‾+PC‾≺AB‾+AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB} + \overline{PC} \prec \overline{AB} + \overline{AC}

점 P\mathrm{P}를 지나고 선분 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선이 선분 AB,AC\mathrm{AB} , AC 와 만나는 점을 각각 D,E\mathrm{D} , E라고 하자. 선분 DE\mathrm{DE}와 선분 BC\mathrm{BC}가 평행하므로 ∠ADE=∠B,∠AED=∠C\mathrm{\angle} ADE = \angle B , \angle AED = \angle C 따라서, ∠A≺∠ADE≺∠AED\mathrm{\angle} A \prec \angle ADE \prec \angle AED 그러므로 △ADE\mathrm{\triangle} ADE에서 $\square {\text{(가)}} \cdots \cdots \text{①}$이고 $\mathrm{\overline{PA}} \prec \overline{AD} \cdots \cdots \text{②}$ △BDP\mathrm{\triangle} BDP에서 $\mathrm{\overline{PB}} \prec \overline{PD} + \overline{DB} \cdots \cdots \text{③}$ △EPC\mathrm{\triangle} EPC에서 $\mathrm{\overline{PC}} \prec \overline{PE} + \overline{EC} \cdots \cdots \text{④}$①,②,③,④에서 PA‾+PB‾+PC‾≺AB‾+AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB} + \overline{PC} \prec \overline{AB} + \overline{AC}

위의 증명에서 (가)에 알맞은 것은? [2점] ①AD‾≺AE‾≺DE‾\displaystyle \overline{AD} \prec \overline{AE} \prec \overline{DE}②AD‾≺DE‾≺AE‾\displaystyle \overline{AD} \prec \overline{DE} \prec \overline{AE}③AE‾≺AD‾≺DE‾\displaystyle \overline{AE} \prec \overline{AD} \prec \overline{DE}④AE‾≺DE‾≺AD‾\displaystyle \overline{AE} \prec \overline{DE} \prec \overline{AD}⑤DE‾≺AE‾≺AD‾\displaystyle \overline{DE} \prec \overline{AE} \prec \overline{AD}

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⑤

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해설

삼각형의 성질에서 내각의 크기의 순서는 그에 대응되는 변의 길이의 순서와 같다. 이 때, △ADE\triangle ADE에서 ∠A\angle A의 대변은 DE‾\displaystyle \overline{DE}, ∠D\angle D의 대변은 AE‾\displaystyle \overline{AE}, ∠E\angle E의 대변은 AD‾\displaystyle \overline{AD}이므로 ∠A<∠ADE<∠AED\angle A < \angle ADE < \angle AED ↔\leftrightarrow DE‾<AE‾<AD‾\displaystyle \overline{DE} < \overline{AE} < \overline{AD}이다.

태그

#삼각형 변과 각#증명 빈칸

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