삼각형 무게중심과 k

[출제의도] 좌표평면에서 삼각형의 무게중심을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \mathrm{A} \left( \mathit{a} , \frac{1}{2} a \right) , \mathrm{B} \mathit{\left( b , 3 b \right)}$라 놓으면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심$\mathrm{G}$의 좌표가 $\displaystyle \mathrm{G} \left( 2 , \frac{8}{3} \right)$에서 $\displaystyle \frac{a + b}{3} = 2$, $\displaystyle \frac{\frac{1}{2} a + 3 b}{3} = \frac{8}{3}$ 두 식을 연립하여 풀면 $a = 4 , b = 2$ ∴$\mathrm{A} \left( \mathit{4} , 2 \right) , \mathrm{B} \mathit{\left( 2 , 6 \right)}$ 점$\mathrm{A}$는 직선 $y = - 2 x + k$ 위의 점이므로 $k = 10$

[다른풀이] 직선 $y = - 2 x + k$과 두 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$, $y = 3 x$의 교점 $\mathrm{A} , B$의 좌표를 구하면 각각 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\mathit{2}}{5} k , \frac{1}{5} k \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\mathit{1}}{5} k , \frac{3}{5} k \right)$ 무게중심의 $x$좌표가 $2$에서 $\displaystyle \frac{\frac{1}{5} k + \frac{2}{5} k}{3} = 2$ ∴ $k = 10$