삼각형 정사영 넓이 최대

$\mathrm{\triangle} ABC$의 법선단위벡터를 $\vec{h}$라 하면 $\vec{h} = ( a , b , c )$, $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 1$. $yz$평면의 법선단위벡터는 $\vec{h} = ( 1 , 0 , 0 )$이다. $\displaystyle \therefore b ^{2} + c ^{2} = \frac{3}{4} , a = \pm \frac{1}{2}$ $\mathrm{\triangle} ABC$와 평면 $x - 2 y + 2 z = 1$ 사이의 예각을 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{1 \cdot a - 2 b + 2 c}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} ( ( a - 2 ( b - c ) ) \cdots \cdots \text{㉠}$ $- 2 b + 2 c = k$라 하면 $\displaystyle c = b + \frac{k}{2}$ 이것을 $\displaystyle b ^{2} + c ^{2} - \frac{3}{4} = 0$에 대입하면 $\displaystyle 2 b ^{2} + kb + \frac{k ^{2}}{4} - \frac{3}{4} = 0$ $\displaystyle D = k ^{2} - 8 \left( \frac{k ^{2}}{4} - \frac{3}{4} \right) = - k ^{2} + 6 \geq 0$ $\displaystyle \therefore - \sqrt{6} \leq k \leq \sqrt{6}$ $\displaystyle | \cos \alpha | \leq \frac{\frac{1}{2} + \sqrt{6}}{3} = \frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$ $\therefore$ (넓이)$\displaystyle = 6 | \cos \alpha | \leq 1 + 2 \sqrt{6}$ [다른 풀이1]

$yz$평면과 $x - 2 y + 2 z = 1$이 이루는 각을 $\alpha$라 하면, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ ∴ 최댓값은 $\displaystyle 6 \cdot \cos ( \theta - \alpha ) = 6 \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right)$ =$\displaystyle 6 \left\{ \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha \right\}$$\displaystyle = 6 \left( \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)$$\displaystyle = 1 + 2 \sqrt{6}$ [다른 풀이2] ㉠ 이후로 코시-슈바르츠 부등식에서 $( b ^{2} + c ^{2} ) ( 1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} ) \geq ( b - c ) ^{2}$ $\displaystyle \therefore ( b - c ) ^{2} \leq \frac{3}{2}$ $\displaystyle \therefore \cos \alpha \leq \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{2} + 2 \left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right) \right\} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ $\therefore 6 \cos \alpha$의 최댓값은 $\displaystyle 6 \cdot \left( \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3} \right) = 1 + 2 \sqrt{6}$