삼각형 정사영 넓이

[출제의도]두 평면이 이루는 각을 구하여 정사영의 넓이를 구할 수 있는가? 점 $P$가 선분 $AC$를 $1 : 2$로 내분하는 점이고, 점 $C$에서 평면 $\alpha$에 이르는 거리가 $3$이므로 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 이르는 거리는 $1$이다. 따라서, 직선 $PB$는 평면 $\alpha$와 평행하다. 삼각형 $ABC$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 하자. 평면 $\alpha$에 평행하고 직선 $PB$를 포함하는 평면을 $\beta$라고 하면 삼각형 $PBC$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기도 $\theta$이다. $\theta$ $\beta$

점 $C$에서 직선 $PB$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 점 $C$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하자. 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{DQ} \perp \overline{PB}$이므로 $\angle CDQ = \theta$이다. $\displaystyle \overline{CQ} = 3 - 1 = 2$이므로 $\displaystyle \overline{CD} = x$라 하면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{2}{x}$이다. 삼각형 $ABC$의 넓이가 $9$이므로 삼각형 $PBC$의 넓이는 $\displaystyle 9 \times \frac{2}{3} = 6$ 따라서, $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{PB} \times x = 6$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times x = 6$, $x = 3$ ∴ $\displaystyle \sin \theta = \frac{2}{3}$ ∴ $\displaystyle \cos \theta = \sqrt{1 - \sin ^{2} \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 따라서, 삼각형 $ABC$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = 9 \cos \theta = 9 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 3 \sqrt{5}$ ∴ $S ^{2} = 45$