미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 격자 넓이와 교점 수

문제

그림은 두 변의 길이가 1010인 직각이등변삼각형이다. 세 변을 nn등분하는 점에서 각 변에 평행한 선분을 그어 만들어지는 가장 작은 직각이등변삼각형 한 개의 넓이를 ana _{n}, 선분들의 교점의 총 개수를 bnb _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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25

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해설

an=12×10n×10n=50n2\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{n} \times \frac{10}{n} = \frac{50}{n ^{2}} {bn}\left\{ b _{n} \right\} : 0,3,7,12,18,⋯0 , 3 , 7 , 12 , 18 , \cdots 에서 bn=0+∑k=1n−1(k+2)=n(n−1)2+2(n−1)\displaystyle b _{n} = 0 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( k + 2 \right) = \frac{n ( n - 1 )}{2} + 2 ( n - 1 ) =n2+3n−42\displaystyle = \frac{n ^{2} + 3 n - 4}{2} ∴lim⁡n→∞anbn=25\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = 25

태그

#수열의 극한#도형

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