미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 각과 sin2θ

문제

그림과 같이 AB‾<AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} < \overline{AC}인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 ∠ABC=α\angle \mathrm{ABC} = \alpha, ∠ACB=β\angle \mathrm{ACB} = \beta라 하자. 또, AB‾=AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AD}}가 되도록 변 AC\mathrm{AC} 위에 점 D\mathrm{D}를 잡고 ∠DBC=θ\angle \mathrm{DBC} = \theta라 하자. cos⁡α=1010\displaystyle \cos \mathrm{\alpha} = \frac{\sqrt{10}}{10}, cos⁡β=55\displaystyle \cos \mathrm{\beta} = \frac{\sqrt{5}}{5}일 때, sin⁡2θ\sin 2 \theta의 값은? [4점]

①210\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{10}②310\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{10}③15\displaystyle \frac{1}{5}④510\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}⑤610\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{10}

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}가 이등변삼각형이고, 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로 α−θ=θ+β\alpha - \theta = \theta + \beta ∴ 2θ=α−β2 \theta = {\alpha - \beta} 그런데, cos⁡α=1010\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}, cos⁡β=55\displaystyle \cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{5}에서 sin⁡α=31010\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10}, sin⁡β=255\displaystyle \sin \mathrm{\beta} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}이므로 sin⁡2θ=sin⁡(α−β)\sin 2 \theta = \sin ( \alpha - \beta ) =sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta =31010×55−1010×255\displaystyle = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \times \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{10}}{10} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5} =210\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{10}

태그

#삼각함수 덧셈정리

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