미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 둘레의 극한

문제

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $y = nx$ , $y = - nx$ 가 곡선 $\displaystyle y = \frac{n}{\left| x \right|}$ 과 만나는 두 점을 각각 $A _{n} , B _{n}$ 이라 하자. 삼각형 $O A _{n} B _{n}$ 의 둘레의 길이를 $l _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{l _{n}}{n}$ 의 값은? (단, $O$ 는 원점이다.) [4점]

① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ②1③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④2⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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④

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해설

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $x > 0$ 일 때 직선 $y = nx$ 와 곡선 $\displaystyle y = \frac{n}{x}$ 이 만나는 점 $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}}$ 의 좌표는 $\left( 1 , n \right)$ 이고 $x < 0$ 일 때 직선 $y = - nx$ 와 곡선 $\displaystyle y = - \frac{n}{x}$ 이 만나는 점 $\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}}$ 의 좌표는 $\left( - 1 , n \right)$ 이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} \mathit{_{n}}}} = {\overline{\mathrm{OB} \mathit{_{n}}}} = \sqrt{1 + n ^{2}} ,$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}}} = 2$ 이므로 $\displaystyle l _{n} = 2 \sqrt{1 + n ^{2}} + 2$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \sqrt{1 + n ^{2}} + 2}{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {2 \sqrt{\frac{1}{n ^{2}} + 1}} + \frac{2}{n}$ $= 2$

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