삼각형 둘레 이동

ㄱ. $r = 2$일 때, 점$\mathrm{P} _{3}$는 점$\mathrm{P} _{1}$ 즉, 꼭지점$\mathrm{A}$로부터 $2 + 2 ^{2} = 6$만큼 변을 따라 시계 반대방향으로 이동한 것이므로 꼭지점$\mathrm{A}$이다. (거짓) ㄴ. $\displaystyle r = \frac{4}{5}$일 때, 점$\mathrm{P} _{1}$에서 점$\mathrm{P} _{n+1}$($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)까지의 변을 따라 이동한 거리는 $\displaystyle \frac{4}{5} + \left( \frac{4}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{4}{5} \right) ^{3} + \cdots + \left( \frac{4}{5} \right) ^{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{4}{5} \left\{ 1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{4}{5}}$$\displaystyle = 4 \left\{ 1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} \right\}$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} 4 \left\{ 1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} \right\} = 4$ 이므로 점$\mathrm{P} _{n+1}$은 꼭지점$\mathrm{A}$를 출발하여 한바퀴를 돌고 꼭지점$\mathrm{B}$를 지나칠 수 없다. 따라서, 변$\mathrm{CA}$ 위에 있는 점$\mathrm{P} _{n+1}$의 이동거리는 $\displaystyle 2 \leq 4 \left\{ 1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} \right\} \leq 3$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} \leq \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} \leq \frac{1}{2}$ 위의 부등식을 만족하는 자연수$n$의 값의 범위는 $4 \leq n \leq 31$이므로 변$\mathrm{CA}$위에 있는 점$\mathrm{P} _{n+1}$의 개수는 유한개이다. (거짓) ㄷ. $\displaystyle r = \frac{1}{2}$일 때, 점$\mathrm{P} _{1}$에서 점$\mathrm{P} _{n+1}$($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)까지의 변을 따라 이동한 거리는 $\displaystyle \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\} = 1$이므로 $\displaystyle 0 < r < \frac{1}{2}$일 때, 점$\mathrm{P} _{n+1}$($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)은 모두 변$\mathrm{AB}$ 위에 있다. 즉, 변$\mathrm{AB}$위에 $S$의 원소가 무수히 많다. (참) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.