공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 둘레 최소

문제

그림과 같이 점 P(2,1)\mathrm{P} ( 2 , 1 )과 직선 y=xy = x 위를 움직이는 점 Q,\mathrm{Q} , xx축 위를 움직이는 점 R\mathrm{R}를 잇는 △PQR\triangle \mathrm{PQR}의 둘레의 길이가 최소일 때, 점R\mathrm{R}의 좌표는? [4점]

①(23,0)\displaystyle \left( \frac{2}{3} , 0 \right)②(1,0)\left( 1 , 0 \right)③(43,0)\displaystyle \left( \frac{4}{3} , 0 \right)④(32,0)\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 0 \right)⑤(53,0)\displaystyle \left( \frac{5}{3} , 0 \right)

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⑤

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해설

[출제의도] y=xy = x,y=−xy = - x에 대한 대칭이동 이해하기 점 P(2,1)P \left( 2 , 1 \right)를 직선 y=xy = x에 대칭이동 시킨 점을 P′P ^{'}, 점 P(2,1)P \left( 2 , 1 \right)를 직선 xx축에 대칭이동 시킨 점을 Q′Q ^{'}이라 하면 P′(1,2),Q′(2,−1)P ^{'} \left( 1 , 2 \right) , Q ^{'} \left( 2 , - 1 \right)이다.

이때, △PQR\triangle PQR의 둘레가 최소일 때는 직선 P′Q′P ^{'} Q ^{'}이 y=xy = x와 xx축과 만날 때의 교점을 각각 Q,RQ , R로 잡을 때이다. 따라서 RR의 xx좌표는 직선 P′Q′P ^{'} Q ^{'} 의 xx절편과 일치하므로 직선 P′Q′P ^{'} Q ^{'}의 방정식은 y=−3x+5y = - 3 x + 5 에서 xx절편은 x=53\displaystyle x = \frac{5}{3} ∴ (53,0)\displaystyle \left( \frac{5}{3} , 0 \right)

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#대칭이동#최단거리

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