대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 배열 행의 평균

문제

11부터 연속된 자연수를 아래와 같이 제nn행에는 nn개의 자연수가 오도록 나열하였다. 제11행 11 제22행 22 33 제33행 44 55 66 제44행 77 88 99 1010 제55행 1111 1212 1313 1414 1515 제66행 1616 1717 1818 1919 2020 2121 ⋮\vdots ⋮\vdots

제1919행에 나열된 모든 자연수의 평균을 구하시오. [4점]

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181

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 제nn항을 제(2n−12 n - 1)행에 나열된 모든 자연수의 평균이라 하자. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 각 항은 1,5,13,25,41,61,1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , … 이므로 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 계차수열은 첫째 항이 44이고 공차가 44인 등차수열을 이룬다. 따라서 an=1+∑k=1n−14k=1+2n(n−1)=2n2−2n+1\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 4 k = 1 + 2 n ( n - 1 ) = 2 n ^{2} - 2 n + 1에서 a10=181a _{10} = 181이므로 제1919행에 나열된 수들의 평균은 181181이다.

태그

#군수열#계차수열

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