삼각함수와 지수함수 조건

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 추론하기 $f ( x ) = 0$에서 $a \sin x - \cos x = 0$, $\displaystyle \tan x = \frac{1}{a}$$\displaystyle \tan x = \frac{1}{a}$을 만족시키는 실수 $x$는 열린구간 $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$에서 오직 하나뿐이므로 $\displaystyle \tan k = \frac{1}{a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $g ( k ) = 0$이므로 $e ^{2 k - b} - 1 = 0$에서 $2 k = b$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\left\{ f \left( x \right) g \left( x \right) \right\}' = 2 f \left( x \right)$에서 $f' \left( x \right) g \left( x \right) + f \left( x \right) g' \left( x \right) - 2 f \left( x \right) = 0$ $f' \left( x \right) g \left( x \right) + f \left( x \right) \left\{ g' \left( x \right) - 2 \right\} = 0$ $f' \left( x \right) = a \cos x + \sin x$, $g' \left( x \right) = 2 e ^{2 x - b}$이므로 $\left( a \cos x + \sin x \right)$$\left( e ^{2 x - b} - 1 \right)$$+ \left( a \sin x - \cos x \right) \left( 2 e ^{2 x - b} - 2 \right) = 0$ $\left( e ^{2 x - b} - 1 \right) \left\{ \left( 2 a + 1 \right) \sin x + \left( a - 2 \right) \cos x \right\} = 0$ $e ^{2 x - b} - 1 = 0$ 또는 $\left( 2 a + 1 \right) \sin x + \left( a - 2 \right) \cos x = 0$ $\displaystyle x = \frac{b}{2}$ 또는 $\displaystyle \tan x = \frac{2 - a}{2 a + 1}$ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \tan \frac{b}{2} = \tan k = \frac{1}{a}$이고, $\displaystyle \tan x = \frac{2 - a}{2 a + 1}$인 실수 $x$를 $\displaystyle \alpha \left( - \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \frac{1}{a} \neq \frac{2 - a}{2 a + 1}$이므로 $\displaystyle \frac{b}{2} \neq \alpha$이다. 그러므로 열린구간 $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$에서 방정식 $\left\{ f ( x ) g ( x ) \right\}' = 2 f ( x )$의 모든 해는 $\displaystyle \frac{b}{2}$, $\alpha$이다. $\displaystyle \frac{b}{2} + \alpha = \frac{\pi}{4}$이므로 $\tan \alpha$$\displaystyle = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{b}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \frac{b}{2}}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \times \tan \frac{b}{2}}$$\displaystyle = \frac{1 - \frac{1}{a}}{1 + \frac{1}{a}} = \frac{a - 1}{a + 1}$ $\displaystyle \tan \alpha = \frac{2 - a}{2 a + 1}$이므로 $\displaystyle \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{2 - a}{2 a + 1}$에서 $3 a ^{2} - 2 a - 3 = 0$ $2 a = 3 \left( a ^{2} - 1 \right)$, $\displaystyle a ^{2} - 1 = \frac{2}{3} a$ 따라서 $\tan b$$\displaystyle = \tan \left( \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{2 \tan \frac{b}{2}}{1 - \tan ^{2} \frac{b}{2}}$ $\displaystyle = \frac{2 \times \frac{1}{a}}{1 - \left( \frac{1}{a} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{2 a}{a ^{2} - 1} = \frac{2 a}{\frac{2}{3} a} = 3$